वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

 

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वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

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 परिचय (Introduction): 

वास्तविक संख्याएँ वह संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम दैनिक जीवन में गणना करने के लिए करते हैं। ये संख्याएँ सभी प्रकार की संख्याओं को एक साथ समेटती हैं, जैसे - प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय (Rational) और अपरिमेय (Irrational) संख्याएँ। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं का समूह सबसे बड़ा होता है।

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वास्तविक संख्याओं के प्रकार (Types of Real Numbers)

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1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers) 

   - ये वे संख्याएँ हैं जो 1 से शुरू होती हैं और बढ़ती जाती हैं। जैसे - 1, 2, 3, 4, ...

   - इन्हें (N) से प्रदर्शित किया जाता है। 

     N = {1, 2, 3, 4. . . . . .}

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2. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers) 

   - ये वे संख्याएँ हैं जिनमें शून्य (0) और सभी प्राकृतिक संख्याएँ शामिल होती हैं। 

   - इन्हें (W) से प्रदर्शित किया जाता है। 

     W = {0, 1, 2, 3. . . . . .}

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3. पूर्णांक (Integers) 

   - ये संख्याएँ धनात्मक, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य को शामिल करती हैं। 

   - इन्हें (Z) से प्रदर्शित किया जाता है। 

     Z = {. . . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . . . .}

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4. परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) 

   - परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें  ^p/_q  के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ (p) और (q) पूर्णांक हैं और (q ≠ 0)। 

   - यह घातांक वाला रूप भी हो सकता है जिसमें दशमलव भी हो। p 

^p/_q में p अंश है और q हर है।

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5. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) 

   - ये वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें  ^p/_q के रूप में नहीं लिखा जा सकता। 

   - उदाहरण: √2, π, 1.414... (अंतहीन और आवर्तक नहीं)।

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वास्तविक संख्याओं की विशेषताएँ (Properties of Real Numbers)

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1. संचायक (क्रमचयी ) गुणधर्म (Commutative Property) 

   - जोड़ और गुणा में लागू होती है: 

     (a + b = b + a) 

     (a x b = b x a)

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2. सहचर्य गुणधर्म (Associative Property) 

   - जोड़ और गुणा में लागू होती है: 

     (a + (b + c) = (a + b) + c) 

     (a x (b x c) = (a x b) x c)

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3. वितरणात्मक गुणधर्म (Distributive Property) 

   - गुणा और जोड़ पर लागू होती है: 

     (a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

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महत्त्वपूर्ण अवधारणाएँ (Important Concepts)

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1. अपरिमेय संख्याओं का वर्गमूल (Square Roots of Irrational Numbers) 

   - उदाहरण: (√2) और (√3) अपरिमेय संख्याएँ हैं। ये दशमलव रूप में कभी समाप्त नहीं होतीं और न ही आवर्ती होती हैं।

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2. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का योगफल (Sum of Rational and Irrational Numbers) 

   - यदि हम एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग करते हैं, तो परिणाम हमेशा अपरिमेय संख्या होगी।

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3. दशमलव रूप में संख्याएँ (Decimal Representation of Real Numbers) 

   - परिमेय संख्याएँ या तो समाप्त होती हैं (जैसे 0.5) या आवर्ती होती हैं (जैसे 0.333...)। 

   - अपरिमेय संख्याएँ कभी समाप्त नहीं होतीं और न ही आवर्ती होती हैं।

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 उदाहरण (Examples)

1. परिमेय संख्या (Rational Number): 

   3/4, 5, 0.75

 

2. अपरिमेय संख्या (Irrational Number): 

   (π = 3.14159...), (√5 = 2.236...)

 

3. पूर्णांक (Integers): 

   (.....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3........)

 

4. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers): 

   (1, 2, 3, 4. . . . .)

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वास्तविक संख्याओं की उपयोगिता (Applications of Real Numbers)

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- वास्तविक संख्याएँ हमारे दैनिक जीवन में हर जगह उपयोग होती हैं, जैसे - माप, गणना, भौतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग आदि।

- यह गणित के सभी क्षेत्रों में आधारभूत भूमिका निभाती हैं और जटिल संख्याओं को भी एक आधार प्रदान करती हैं।

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