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क्षेत्रमिति (Areas Related to Circles)

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क्षेत्रमिति का यह अध्याय वृत्त और उससे संबंधित आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करने पर केंद्रित है। इसमें हम वृत्त(le), चाप(arc), खंड (segments), क्षेत्र (sectors), और संबंधित ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के लिए आवश्यक सूत्रों का अध्ययन करते हैं।

 

यह अध्याय हमारे रोजमर्रा के जीवन में विभिन्न वास्तविक समस्याओं को हल करने में मदद करता है, जैसे कि गोलाकार पिज्जा का क्षेत्रफल निकालना, गोलाकार मैदान की परिधि का अनुमान लगाना आदि।

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मुख्य अवधारणाएँ (Key Concepts)

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1. वृत्त (Circle)

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   वृत्त एक समतल पर बिंदुओं का वह संग्रह होता है, जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या) पर स्थित होते हैं।

 

   - त्रिज्या (Radius): केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु तक की दूरी।

   - व्यास (Diameter): वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली सबसे लंबी रेखा, जो वृत्त को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। व्यास, त्रिज्या का दोगुना होता है।

Diameter = 2 x Radius

D = 2 r

 

 

 

 

 

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2. परिधि (circumference)

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   वृत्त की परिधि उसका कुल बाहरी भाग है, जिसे हम 2 π r के रूप में दर्शाते हैं, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। 

   परिधि = 2 π r

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3. वृत्त का क्षेत्रफल (Area of a Circle)

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   वृत्त के भीतर का कुल क्षेत्रफल (π r ²) से निकाला जाता है, जहाँ ( r ) त्रिज्या है। 

वृत्त का क्षेत्रफल = π r ²

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वृत्त का चाप (Arc of a Circle)

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वृत्त का कोई भी खंडित भाग चाप कहलाता है। इसे दो प्रकार में विभाजित किया जा सकता है:

1. प्रमुख चाप (Major Arc): वृत्त का बड़ा भाग।

2. लघु चाप (Minor Arc): वृत्त का छोटा भाग।

 

चाप की लंबाई (Length of an Arc) का सूत्र:

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क्षेत्र (Sector)

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जब वृत्त का कोई चाप केंद्र से जुड़ता है, तो वृत्त के एक भाग को क्षेत्र (Sector) कहते हैं। यह भी दो प्रकार का हो सकता है:

1. प्रमुख क्षेत्र (Major Sector): वृत्त का बड़ा भाग।

2. लघु क्षेत्र (Minor Sector): वृत्त का छोटा भाग।

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क्षेत्र का क्षेत्रफल (Area of a Sector) का सूत्र:

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खंड (Segment)

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वृत्त का वह भाग जो एक जीव या रेखा द्वारा कटता है, उसे खंड कहते हैं।

1. प्रमुख खंड (Major Segment): वृत्त का बड़ा भाग।

2. लघु खंड (Minor Segment): वृत्त का छोटा भाग।

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खंड का क्षेत्रफल (Area of a Segment) की गणना:

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खंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए, क्षेत्र (Sector) के क्षेत्रफल से त्रिकोण के क्षेत्रफल को घटा देते हैं।

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उदाहरण प्रश्न (Example Problems)

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प्रश्न 1: एक वृत्त की त्रिज्या (7 , cm) है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = frac227)

हल: 

त्रिज्या (r) = 7 cm 

वृत्त का क्षेत्रफल ( = π r2 ) 

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प्रश्न 2: एक वृत्त का चाप 60⁰ का कोण बनाता है और त्रिज्या 10 cm है। चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

 हल: चूंकि 

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इस प्रकार, इस अध्याय में वृत्त और उससे संबंधित आकृतियों की विभिन्न गणनाएँ और उनके अनुप्रयोगों पर ध्यान दिया जाता है।

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