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 द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

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परिभाषा: 

द्विघात समीकरण वह समीकरण है जिसमें चर (variable) की अधिकतम घात (2) होती है। इसे सामान्य रूप से निम्न रूप में लिखा जाता है: 

 

ax² + bx + c = 0

 

जहाँ (a, b, c) वास्तविक संख्याएँ हैं और (a ≠ 0)। 

यहाँ:

- (a) को मुख्य गुणांक (coefficient of (x²)) कहते हैं।

- (b) को गुणांक (coefficient) कहते हैं।

- (c) नियतांक (constant term) है।

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 द्विघात समीकरण के उदाहरण:

1. (x² + 5x + 6 = 0)

2. (3x² - 4x + 2 = 0)

3. (-x2 + 7x - 12 = 0)

 

 

 

 

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द्विघात समीकरण का हल (Solutions of Quadratic Equations)

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 द्विघात समीकरण को हल करने के मुख्य तीन तरीके होते हैं:

 1. परिपूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square Method) 

2. घातांकी विधि (Factorization Method) 

3. गणितीय सूत्र (ratic Formula Method)

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1. घातांकी विधि (Factorization Method):

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इस विधि में समीकरण को कारकों के रूप में लिखा जाता है और उन्हें (0) के बराबर कर हल किया जाता है।

 

उदाहरण: 

समीकरण: (x² - 5x + 6 = 0) 

चरण:

- समीकरण को कारकों में विभाजित करें: 

   (x - 2)( x - 3) = 0

 

- प्रत्येक कारक को (0) के बराबर रखें: 

   x - 2 = 0  या  x - 3 = 0

 

-  अतः (x = 2) और (x = 3)

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2. परिपूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square Method):

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इस विधि में द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग के रूप में बदला जाता है।

 

उदाहरण: 

समीकरण: (x² + 4x + 1 = 0) 

चरण:

 (x² + 4x) को परिपूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: 

 x² + 4x = x² + 4x + 4 - 4

                =  x² + 4x + 2² - 4

                = (x + 2)² - 4         फॉर्मूला (a²  + 2ab + b²) को use करके

                

- समीकरण में जोड़ें: 

   (x + 2)² - 4 + 1 = 0   ⇒  (x + 2)² = 3

 

- (x) का मान ज्ञात करें: 

   x + 2 = 土√3  (दोनों तरफ का वर्ग करने पर)

⇒ x = -2 土 √3

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3. गणितीय सूत्र (Quadratic Formula Method):

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इस विधि में द्विघात समीकरण (ax² + bx + c = 0) का हल निम्न सूत्र से ज्ञात किया जाता है: 

 जहाँ (土 ) का अर्थ है दोनों मानों को लेना (एक बार जोड़ना और एक बार घटाना)।

 

उदाहरण: 

समीकरण: (2x² - 4x - 6 = 0) 

यहाँ (a = 2), (b = -4), और (c = -6) 

चरण:

- वर्णनात्मक (Discriminant) का मान निकालें: 

   D = b² - 4ac = (-4)² - 4 x 2 x (-6) = 16 + 48 = 64

 

- सूत्र में मान रखें:  

   - (x) के दो मान प्राप्त करें: 

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वर्णनात्मक (Discriminant) और प्रकृति:

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द्विघात समीकरण के हल की प्रकृति को वर्णनात्मक (D = b² - 4ac) से जाना जा सकता है:

- यदि (D > 0): दो वास्तविक और असमान मूल होते हैं।

- यदि (D = 0): दो समान मूल होते हैं।

- यदि (D < 0): कोई वास्तविक मूल नहीं होता, बल्कि मूल कल्पित (complex) होते हैं।

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प्रश्न (Example Problem):

हल कीजिए: (x² - 7x + 10 = 0)

 

हल:

1. समीकरण को कारकों में विभाजित करें: 

⇒ x² - 7x + 10 = 0

⇒ x² - 5x  -2x+ 10 = 0

⇒  x(x - 5)  -2(x- 5) = 0

⇒     (x - 5)(x - 2) = 0

  

2. प्रत्येक कारक को (0) के बराबर रखें: 

     x - 5 = 0  या  x - 2 = 0

     अतः (x = 5) और (x = 2)

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इस प्रकार, हमने द्विघात समीकरणों के प्रकार और हल करने की विधियों का अध्ययन किया। अगर आपको कोई और उदाहरण चाहिए, तो कृपया बताएं!

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