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पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

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यह अध्याय विभिन्न त्रिविमीय आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और उनके आयतन की गणना पर आधारित है। इस अध्याय में आपको बेलन (Cylinder), शंकु (Cone), गोला (Sphere), घन (Cube), घनाभ (Cuboid), और अन्य त्रिविमीय आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना करना सिखाया जाता है। यह विषय हमारे दैनिक जीवन में बहुत उपयोगी है, जैसे किसी कंटेनर की क्षमता ज्ञात करने में या विभिन्न प्रकार के निर्माण कार्य में।

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मुख्य अवधारणाएँ (Key Concepts)

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1. घन और घनाभ (Cube and Cuboid)

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   - घनाभ (Cuboid): यह एक त्रिविमीय आकृति है जिसके सभी आयाम (लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई) भिन्न हो सकते हैं।

     - घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area):

              पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (लंबाई x चौड़ाई + चौड़ाई x ऊँचाई + लंबाई x ऊँचाई)

      

     - घनाभ का आयतन (Volume):

              आयतन = लंबाई x चौड़ाई x ऊँचाई

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   - घन (Cube): यह एक विशेष प्रकार का घनाभ है, जिसमें सभी किनारे बराबर होते हैं।

     - घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल:

              पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²  (जहाँ  a  घन का किनारा है)

      

     - घन का आयतन:

              आयतन = a³

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2. बेलन (Cylinder)

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   - यह एक त्रिविमीय आकृति है जिसमें एक आधार से समान दूरी पर दूसरे आधार की ओर जाता हुआ परिपथ होता है।

   - बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area):

      वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πrh  (जहाँ  r  त्रिज्या है और  h  ऊँचाई है)

    

   - बेलन का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area):

          पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h + r)

    

   - बेलन का आयतन:

          आयतन = πr²h

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3. शंकु (Cone)

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   - शंकु एक त्रिकोणीय आकृति है, जिसका आधार वृत्त होता है और ऊपर एक शीर्ष बिंदु होता है।

   - शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:

          वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl  (जहाँ  l  शंकु की तिर्यक ऊँचाई है)

    

   - शंकु का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल:

          पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r)

    

   - शंकु का आयतन:

          आयतन = 1/3πr2h

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4. गोला (Sphere)

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   - एक गोला वह त्रिविमीय आकृति है, जिसमें एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह होता है।

   - गोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल:

          पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

    

   - गोला का आयतन:

          आयतन =  4/3 πr ³

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5. अर्द्धगोला (Hemisphere)

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   - यह गोले का आधा भाग होता है।

   - अर्द्धगोला का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल:

          वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr ²

    

   - अर्द्धगोला का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल:

          पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²

    

   - अर्द्धगोला का आयतन:

          आयतन = 2/3 πr ³

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उदाहरण प्रश्न (Example Problems)

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प्रश्न 1: एक बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।

 

हल: 

  वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल       = 2 π r h

= 2 x (22/7) x 7 x 10

= 440 cm²

 

   आयतन    = π r²h

= (22/7) x 7 x 7 x 10

= 1540 cm³

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इस प्रकार, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के अध्याय में विभिन्न त्रिविमीय आकृतियों की गणनाएँ और उनकी वास्तविक जीवन में उपयोगिता पर ध्यान दिया जाता है।

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